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从“抛硬币”游戏看资产配置的本质

日期: 2017-08-22
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从“抛硬币”游戏看资产配置的本质

来源丨雪球

作者丨StarringLu


01

 

先来玩一个游戏,大家都玩过,猜硬币。

假设你手上有10000块钱,我手上有无数的钱。我开了个赌局,猜硬币正反。如果你猜错了,你押注的钱就是我的了;如果你猜对了,那么我赔你双倍(即赔率为2)。

 

可以认为硬币正反面向上的概率都是50%-50%,显然,这个是对你非常有利的赌局,你下注的获利的期望值不单为正,而且不低(50%)。(澳门、阿拉斯加大赌场里面单倍赔率赌局闲的胜率一般在47%左右,期望是负数)


好了,那么你该如何玩这个赌局呢?


如果你这辈子只下注一把,且不会因为损失惨重而痛苦。那么可能你会选择期望值最大化,ALL IN。


但是在现实投资生活中,我们不可能能承受倾家荡产的损失,也不单单仅仅遇到一次下注机会,我们追求的其实是长期下注下的投资收益率最大化


回到这个抛硬币的赌局里面(为了模拟现实,假设这个赌局永续持续下去)。


如果你每次都全部下注ALL IN,那么长期来看你的结局一定是0,你一定有猜错的时候。


如果你小心保守,每次都只下注1块钱玩玩,那么好了,你肯定是不会全亏光了(上来就连续猜错1w次的概率太低了),可是你赚钱的速度也太慢了吧?


这种千载难逢送钱的赌局给你你需要好好利用珍惜呀。


从“抛硬币”游戏看资产配置的本质


03

 

从以上两个极端情况我们可以得到两个最简单的结论:

一个是下注比例太大,最终难逃资产全部损失的命运,另一个是下注比例太小,会浪费这么大正期望的获利机会。


很明显,如果我们不断调整下注比例,一定存在一个点,在保证不完全损失的基础上,获得最大的长期回报率。这个下注比例,我们可以认为是最优的下注比例。

 

关于这个下注比例如何计算,这里不详细展开。直接给结论:


凯利公式: 

最优下注比例=(赢的赔率*赢的概率-输的概率)/赢的赔率


=(2*50%-50%)/2 = 25%

 

从这个公式我们可以看出来,分子为期望值,期望值为正的游戏长期才有赚钱的可能性。


期望最大次化收益率为6.06%。(这个是比期望收益率小的值)


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05

 

那么,这个凯利公式和我们的投资又有什么关系呢?


首先,我想说的是,无论是股票,债券,存款,都和一个抛硬币的赌局没有本质的区别,他们都是风险和收益的结合体。不同的是现实生活中我们遇到的投资远比这个复杂。这个抛硬币游戏,可以看成是最简化的模型。


但是不管这个模型多么简单,也不管现实生活中的投资问题有多复杂,我们追求的目标是不变的,都是追求长期投资收益率最大化。


接下来我将阐述现实的投资活动和最简化的猜硬币游戏之间的不同:


▼ 现实生活中的投资,有可能不会发生全额损失。


在猜硬币游戏里面,如果猜错了,下注额全部损失掉。但是在现实生活中,有时候并不会发生全部损失。


比如债券违约,企业清算对债权人有补偿。投资股票判断错误,如果可以卖出,亏损也不是全部。如果不卖出,企业破产清算也有可能有剩余资产分配。


用回原来猜硬币的小模型,修改一下游戏规则,如果你猜错了硬币正反,那么你的下注额的70%就是我的了。


那么,如果我们还是要追求长期收益率的最大化,我们又该如何调整找到最优下注比例呢?


这里还是直接给结论: 

最优下注比例=(赔率*赢的概率-损失率*输的概率)/(赔率*损失率)= (2*50%-70%*50%)/(2*70%)=46.4%

 

长期期望最大次化收益率为14.1%


我们可以看到,由于损失率的降低(从100%到70%),最优下注比例和期望最大次化收益率都得到了显著的增长。损失率越接近0,最优下注比例就越接近100%,长期期望最大次化收益率就越接近期望收益率。


从“抛硬币”游戏看资产配置的本质


▼ 现实生活中的投资,不是非黑即白只有两个结果


猜硬币游戏只有两个结果:猜对了,猜错了。


但是投资不是,结局有时候有多个,甚至无法判断有几个。比如我现在以300美元一股的价格买入了网易的股票。3年之后,有可能网易成为了又一大巨头,股价翻10倍。有可能网易以600美元一股的价格被收购,有可能经营不善,破产清算后我只分到每股1元。


▼ 现实生活中的投资,同时不单单只有一个选择


在猜硬币游戏里面,我们每次只能参与到1个赌局游戏中。但是在现实生中,我们可以同时买入多个相关性不为1 的投资品组成一个组合。


为了方便理解我继续用猜硬币的例子做延伸。假如我同时开了n个赌桌抛硬币,你可以选择同时参与任意多个赌桌的游戏。


可以很明显的发现,你不管是只参与一桌猜硬币游戏,还是同时参与很多个赌桌猜硬币,你的期望收益率都不会变化。但是,如果你将你的资金分配个了很多个赌桌,由于这些赌桌猜硬币的结果并不相关,所以你并不会因为发生严重损失而再也翻不了身。

理论上,如果你参与越多个这类赌桌,将你的总资金平均分成越多分分配给各个赌桌。那么你的总下注比例将越来越接近1,单次(单轮)收益率将越来越接近期望值,即越来越高,上限即为期望值。

 


当然,每桌猜硬币的游戏规则不一定是一样的。现实里也不一定都是概率50-50的猜硬币游戏,可能各台赌桌都在进行着不同的游戏,有着不同的概率,不同的赔率,不同的损失率。


从“抛硬币”游戏看资产配置的本质


▼ 多台赌桌相关性不为0的情况


猜硬币游戏理论上说各自互为独立事件,相关性为0。但是,在现实投资中,我们可以遇到相关性不为0的事件(投资机会)。


如果两个事件(投资机会)相关性为1,那么在运用的时候可以把它们归位同一个事件(投资机会)。它们并不能起到增大组合总体持仓占比的作用。


如果两个事件(投资机会)的相关性为-1,我们登权同时买入这两个投资品,那么这就变成了一个荷兰赌游戏,我们能确定性的获得其总体的期望收益率。


经过以上4点讨论,我们可以发现。在现实投资活动中,我们如果想追求长期投资收益率最大化。实际上其哲学本质就是在一堆游戏规则不一样的赌桌中,判断它们各自可能的结果,估计各个结果对应的概率、赔率、损失率,先找出期望值为正的赌桌,再关注各个赌桌之间的相关性关系,构建投资组合,使得长期投资收益率最大化。


各种金融工具的运用的本质,其实是多个基础赌桌的分拆与再组合,改变原有的概率赔率损失率关系,生成新的赌局。


从“抛硬币”游戏看资产配置的本质


04

 

我再总结一下构建长期投资收益率高的组合的特点(上文都有哲学本质论述)


◎ 期望值高(期望值是理论能达到的最高长期投资收益率)


◎ 期望值不变的情况下,赔率越低、损失率低(赔率越低、损失率越低,最优仓位越重,长期投资收益率越接近期望值)。当然这意味着获利的概率要大!即确定性要高。


◎ 投资品之间的相关性越低越好,最好为负(相关性越差,总最优仓位越重,长期投资收益率越接近期望值)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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